Paradoxe de l'interrogation surprise

Le paradoxe de l'interrogation surprise a été relevé par le professeur de mathématiques Lennart Ekbom. Il fut publié en 1948.

Énoncé

Un professeur annonce à ses élèves :

« Il y aura une interrogation surprise la semaine prochaine. »

Précisons les termes. Il faut comprendre trois choses :

1. Une interrogation aura lieu durant un cours soit le lundi, soit le mardi, soit le mercredi, soit le jeudi, soit le vendredi.
2. Juste avant le début de l'interrogation, l'élève ne pourra avoir la certitude que l'interrogation va avoir lieu.
3. Une unique interrogation aura lieu.

Explications

En quoi est-ce un paradoxe ?

Un élève futé fait le raisonnement suivant : Si jeudi soir, l'interrogation n'a pas eu lieu, alors je serai certain qu'elle est pour vendredi. Ce ne sera donc plus une surprise. L'interrogation ne peut donc avoir lieu vendredi parce c'est le dernier jour possible. Mais puisque l'interrogation ne peut avoir lieu le dernier jour, l'avant-dernier jour devient de facto, le dernier jour possible. Ainsi, par récurrence, on en déduit que l'interrogation ne peut avoir lieu.

Essayons de formaliser le problème. L'énoncé peut être (partiellement) interprété ainsi :

${\displaystyle \exists i:P(i)\land \lnot ((\forall j<i:\lnot P(j))\Rightarrow P(i))}$

où ${\displaystyle (i,j)\in \{1,2,3,4,5\}^{2}}$ sont des jours de la semaine et ${\displaystyle P(i)}$ le prédicat : « il y a une interrogation le jour ${\displaystyle i}$ » (${\displaystyle \lnot }$ est la négation et ${\displaystyle \land }$ la conjonction). Or, en utilisant l'égalité « ${\displaystyle \lnot (a\Rightarrow b)=(a\land \lnot b)}$ », on voit immédiatement la contradiction :

${\displaystyle \exists i:P(i)\land \lnot P(i)\land \ldots }$

De quelle nature est ce paradoxe ?

Apparemment, il ne s'agit que d'un propos fallacieux de même nature que les paradoxes sorites.

Cependant, l'élève peut pousser plus loin le raisonnement. De la première conclusion, il doit déduire que le professeur a obligatoirement menti. Mais en quoi a-t-il menti ? Si le vendredi soir, l'examen a bien eu lieu, alors le mensonge est dans l'effet de surprise uniquement. Mais puisque le professeur est un menteur, il se peut qu'il n'y ait pas du tout d'examen. Le raisonnement initial n'est donc plus valable : l'interrogation constituera bien une surprise même si elle survient le vendredi. Finalement, le professeur ne mentira pas si et seulement s'il est pris pour un menteur. On retrouve donc le paradoxe du menteur.

Ce paradoxe est en réalité inhérent au mot surprise et à la notion d'aléatoire.

Si Lennart dit à Marie : « Je vais te faire une surprise. » Alors Marie doit s'attendre à une surprise. La surprise sera alors conforme à son attente ; donc non surprenante. Lennart ne peut plus surprendre Marie que par l'absence de surprise ; c'est-à-dire, en se démentant par le non-faire. En se démentant, il surprend, donc ne se dément pas.

En définitive, annoncer la surprise, c'est ôter l'effet de surprise.

Une première conclusion

En réalité, si la logique mathématique donne raison à l'élève, le sens commun se rangera du côté du professeur. Mais où se situe l'erreur de l'élève ? Comme l'a fait remarquer Thomas O'Beirne en 1965, elle se trouve dans le postulat implicite initial que « le professeur ne pouvait mentir ». Il faut donc considérer que la surprise est due non seulement à la date de l'interrogation, mais aussi à la non-sincérité du professeur. La sincérité du professeur ne repose que sur la possibilité du mensonge. Si la première interprétation était au premier degré, et cette interprétation est au second degré. Elle ne fait que déplacer le paradoxe. On retrouve la première interprétation en ajoutant un (méta-)axiome : le professeur dit vrai. En d'autres termes, les premiers axiomes sont vrais.

Une deuxième interprétation

« Annoncer la surprise, c'est ôter l'effet de surprise » est la conclusion aberrante d'un raisonnement basé sur une interprétation vicieuse (voire erronée) du mot surprise. Mais alors, quel sens faut-il donner à un « événement surprise », lorsqu'il est annoncé ?

Qu'il s'agisse d'« avoir une interrogation surprise » ou de « recevoir un cadeau surprise », il faut bien comprendre que la surprise ne peut pas être causée par la survenue de l'événement, mais réside dans le fait que cet événement n'est pas totalement défini (la date de l'interrogation surprise et la nature du cadeau). On doit donc envisager de multiples événements (mutuellement exclusifs) dont l'un seulement arrivera, en l'occurrence : « avoir une interrogation surprise lundi », « recevoir un jouet », « recevoir de l'argent »… Il faut également considérer que la surprise est synonyme d'imprévu, aussi minime soit-il : ainsi, la survenue d'un événement incertain tout comme la non-survenue d'un événement envisageable constitueront des surprises.

Avec cette nouvelle interprétation, il est facile de démonter le raisonnement de l'élève à sa base : au jeudi soir, l'interrogation ne constituera certes pas une surprise, mais la surprise aura déjà eu lieu répartie sur le lundi, le mardi, le mercredi et le jeudi (et donc le professeur aura tenu parole). En réalité, la surprise survient au moins le lundi et peut se reproduire chaque jour jusqu'au jeudi au plus tard.

La formule « interrogation surprise » est un raccourci de « interrogation à une date surprise » et constitue une forme d'abus de langage, qui tend à faire croire que la surprise n'a lieu que le jour de l'interrogation.

En conclusion, l'erreur est donc de considérer une surprise comme un unique événement : c'est une vision a posteriori. Une situation de surprise est constituée d'au moins deux événements incertains, c'est donc une alternative.

Une troisième interprétation

Une troisième interprétation consiste à montrer que le raisonnement de l'élève est faux car le problème change en fonction du jour de la semaine. Si effectivement, ne pas avoir d'interrogation jeudi et être jeudi soir implique qu'il ne peut pas y avoir d'interrogation vendredi sous peine de casser l'effet de surprise, cela n'est plus vrai pour mercredi. Ne pas avoir d'interrogation mercredi et être mercredi soir n'implique pas qu'il ne peut pas y avoir d'interrogation vendredi, car ce postulat est uniquement valable JEUDI SOIR. Donc le raisonnement par récurrence n'est pas vérifié.

Le problème change donc en fonction du jour de la semaine dans lequel l'élève est, avec un effet de surprise de moins en moins grand, ou une probabilité de plus en plus certaine d'avoir l'examen, au fur et à mesure qu'on avance dans la semaine.

À partir de là, on peut considérer que n'importe quel jour sauf le vendredi pourrait être un bon jour, et on entre dans le cas de la deuxième interprétation : à partir de quand annoncer une surprise n'est-il plus une surprise ?

En effet, si le jour n'est pas connu, et mis à part le cas où le professeur ment, la semaine est connue. On peut donc considérer que ce n'est plus une surprise pour l'élève sur le fait d'avoir ou non une interrogation, mais que c'est sur uniquement la date.

À la date de l'annonce, tous les jours sont valables et la probabilité d'avoir l'examen est de 1/5, lundi si pas d'examen, celle-ci deviendra 1/4, et ainsi de suite 1/3, 1/2, et... 1. Ce qui veut dire que jusqu'à la veille du dernier jour, l'élève aura un "effet de surprise" qui tendra vers 0 au fur et à mesure qu'on avance dans la semaine.

Ce qui veut inversement dire qu'à la date de l'annonce, la proposition du professeur est vraie, et qu'un autre jour elle pourrait être fausse, mais ce ne serait plus la même proposition.

Si nous sommes jeudi et qu'un professeur dise "Interro surprise demain", personne ne dira que c'est une surprise demain.

Si nous sommes mercredi et qu'un professeur dise "interro surprise demain ou après-demain", la seule surprise sera le choix de la date avec un probabilité 1/2.

Et ainsi de suite.

• (en) Cet article est partiellement ou en totalité issu de l’article de Wikipédia en anglais intitulé « Unexpected hanging paradox » (voir la liste des auteurs).

Voir aussi

Articles connexes

• Contradiction performative

Bibliographie

• (en) M. Scriven, « Paradoxical Announcements », Mind, vol. 60,‎ 1951, p. 403-407
• (en) R. Shaw, « The Paradox of the Unexpected Examination », Mind, vol. 67,‎ 1958, p. 382-384 (DOI 10.1093/mind/LXVII.267.382)
• (en) Willard Van Orman Quine, « On a So-called Paradox », Mind, vol. 62,‎ 1951, p. 65-66
  • Reproduit dans le recueil The Ways of Paradox sous le titre On a Supposed Antinomy voir sur Google Book
  • Traduction française de Paul Egré, in Les voies du paradoxe et autres essais sous le titre Sur une antinomie supposée, pages 65-68, ed Vrin, mai 2011(ISBN 9782711622504)
• (en) C. Wright et A. Sudbury, « The Paradox of the Unexpected Examination », AJP (en), vol. 55,‎ 1977, p. 41-58
• (en) A. Margalit et M. Bar-Hillel, « Expecting the Unexpected », Philosophia, vol. 13,‎ 1983, p. 337-344
• (en) C. S. Chihara, « Olin, Quine, and the Surprise Examination », Phil. Stud., vol. 47,‎ 1985, p. 19-26
• Jean-Paul Delahaye, L'interrogation surprise
• P. Franceschi, « Une analyse dichotomique du paradoxe de l'examen-surprise », Philosophiques, vol. 32, n^o 2,‎ 2005, p. 399-421 (lire en ligne)
• (en) R. Kirkham, « On Paradoxes and a Surprise Exam », Philosophia, vol. 21,‎ 1991, p. 31-51
• (en) T. Y. Chow, « The surprise examination or unexpected hanging paradox », Amer. Math. Monthly,‎ janvier 1998(lire en ligne)
• Alain Sournia, Le monde mental ment monumentalement

• Portail de la logique