Graphe médian

En théorie des graphes, un graphe médian est un type de graphe. Étant donné un triplet de nœuds dans un graphe, les médians de ces sommets sont les sommets se trouvant sur les plus courts chemins entre ces sommets. Un graphe médian est un graphe tel que pour tout triplet de nœuds il existe un unique médian.

Définitions

En théorie des graphes, les médians d'un triplet de sommets ${\displaystyle u,v,w\in G}$ sont les sommets ${\displaystyle z}$ se trouvant sur les plus courts chemins entre ces sommets. Autrement dit, si ${\displaystyle I(u,v)}$ est l'ensemble de sommets sur les plus courts chemins entre ${\displaystyle u}$ et ${\displaystyle v}$, alors l'ensemble des sommets médians est ${\displaystyle S_{m}=\{I(u,v)\cap I(u,w)\cap I(v,w)\}}$. Un graphe médian respecte la propriété qu'il y a un seul et unique sommet médian pour tout triplet de sommets, c'est-à-dire ${\displaystyle |I(u,v)\cap I(u,w)\cap I(v,w)|=1}$.

Propriétés

• Le produit cartésien de deux graphes médians est un graphe médian.
• Le seul graphe médian régulier est l'hypercube.
• Les arbres sont des graphes médians. Alors, par produit cartésien, les grilles sont aussi des graphes médians.

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